Penalaran dalam Matematika

PENALARAN DALAM MATEMATIKA

Penalaran dalam matematika ada dua jenis, yaitu penalaran induktif dan penalaran deduktif.

a)      Penalaran induktif

        Penalaran Induktif adalah proses berpikir untuk menarik suatu kesimpulan yang berlaku umum berdasarkan atas fakta-fakta yang bersifat khusus. Penalaran induktif digunakan oleh beberapa cabang ilmu pengetahuan seperti fisika, kimia, biologi, dan sebagainya untuk membangun suatu teori baru.

        Secara umum, langkah-langkah penalaran induktif yang digunakan dalam matematika sebagai berikut :

1.   Mengamati pola-pola yang terjadi,

2.   Membuat dugaan (konjektur) tentang pola umum yang mugkin berlaku,

3.   Membuat generalisasi,

4.   Membuktikan generalisasi secara deduktif.

        Contoh 1:

Buatlah segitiga lancip dan ukurlah besar tiap-tiap sudutnya dengan busur derajat. Berapa derajatkah besar ketiga sudutnya? Buatlah pula segitiga siku-siku dan segitiga tumpul. Berapa derajatkah jumlah ketiga sudut dari tiap-tiap segitiga tersebut?

        Pada contoh 1.1 ini, siswa membuat tiga buah segitiga dan mengukur besar sudut tiap-tiap segitiga dengan busur derajat. Dan siswa memperoleh bahwa jumlah ketiga sudut dalam masing-masing segitiga yang telah buat adalah 180 derajat. Dari tiga contoh segitiga yang dibuat itu siswa dapat menarik kesimpulan bahwa jumlah besar ketiga sudut dalam segitiga adalah 180 derajat. Penarikan kesimpulan dari contoh-contoh seperti ini menggunakan penalaran induktif.

Contoh 2:

Berapakah hasil penjumlahan berikut ini?

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199.

untuk menjawab pertanyaan tersebut dibuta pola sebagai berikut!

Banyak suku                                Penjumlahan                                                                  Hasil

1                                                    1                                                                      1          = ... pangkat 2
2                                                    1 + 3                                                                4          = 2  pangkat ...
3                                                    1 + 3 + 5                                                          9          = ... pangkat 2
4                                                    1 + 3 + 5 + 7                                        16        = 4  pangkat ...
5                                                    1 + 3 + 5 + 7 + 9                                  25        = ... pangkat 2
6                                                    1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11                          36        = 6  pangkat ...
dst.
100                                                1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199                                   ...         = ... pangkat 2
Lengkapilah titik-titik pada kolom hasil dari  pola tersebut.

        Dari contoh di atas siswa akan memperoleh bahwa:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199 = 100 pangkat 2 = 10.000. Pada soal tersebut 199 merupakan bilangan ganjil ke -100. Berapakah bilangan ganjil ke-n? Berapakah jumlah n bilangan ganjil pertama, yaitu:

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n pangkat 2.

b)     Penalaran Deduktif

        Dalam matematika penalaran yang digunakan adalah penalaran deduktif yaitu proses berpikir berdasarkan atas suatu pernyataan dasar yang berlaku umum untuk menarik suatu kesimpulan yang bersifat khusus. Aturan yang berlaku secara umum tersebut, pada umumnya dibuktikan terlebih dahulu kebenarannya dan setelah terbukti kebenarannya baru diterapkan untuk kasus-kasus yang bersifat khusus.

Contoh:

Jumlah dua bilangan ganjil akan menghasilkan bilangan genap. Buktikan kebenaran atau kesalahan pernyataan tersebut secara deduktif.

            Dibuktikan secara deduktif dengan melakukan pemisalan secara umum bahwa bilangan ganjil dapat dituliskan sebagai 2n + 1 untuk n bilangan asli. Maka 2 bilangan ganjil dijumlahkan menjadi (2n + 1)+(2n + 1) = (2n + 2n + 1 + 1) = 4n + 2 = 2(2n + 1) Karena 2n + 1 merupakan bilangan ganjil maka 2 kali bilangan ganjil pasti akan menghasilkan bilangan genap, sehingga terbukti bahwa jumlah dari 2 bilangan ganjil akan menghasilkan bilangan genap